Aula 9: Bifurcações II / Boolean Algebra

George Boole (1815-1864) Matemático Inglês. A sua obra "The mathematical analysis of logic"  (A análise matemática do lógico) (1847) estabeleceu a base do lógico matemático moderno, e a sua algebra Boolean pode ser usado para desenhar computadores modernos. O sistema de Boole é essencialmente bi-valored. Isto pode ser representado por 0     ou   1   "representação binária" VERDADE  ou FALSA  "representação verdade" 0 V   ou  5 V   "Electrónica TTL (transistor-transistor logic)" 0 pC  ou  1 pC  (pC = pico-Coulomb)  "a carga num condensador, a unidade elementária na RAM (dinâmica)"

Na aula anterior (aula 8) vimos como a controlar a corrente de um programa atravês as instruções if ... then e if ... then ... else. Usamos condições como (x<1.0). Agora, imagine usamos isto num cálculo do raiz de (x² - 4). Obviamente, não existe soluções quando x fica entre -2 e +2. Seria útil verificar se x fica neste intervalo. Uma solução poderia ser
  if (x<2) then
    if (x>-2) then
      WriteLn('Error');
Mais bonito seria fazer isto numa só condição única. Então é possível com
  if ((x<2) AND (x>-2)) then WriteLn('Error');
o que, obviamente, significa que ambas as condições (x<2 e x>-2) devem ser satisfazadas para tornar a condição inteira verdade.
Isto é um exemplo do cálculo Boolean
  condition3 := condition1 AND condition2;
  if condition3 then instruction;
Outros operadores de algebra Boolean usados em PASCAL são OR and XOR. (Outras não implementados incluem NAND and NOR). A função dos operadores  AND e OR é obvio. O operador XOR é um pouco mais complicado:  (a XOR b) significa "a ou b verdade, mas não ambas!"
O último operador Boolean implementado em PASCAL é o invertador NOT. (NOT a) retorne o contrário do a: se a for TRUE, (NOT a)é FALSE, e se a for FALSE, (NOT a)é TRUE. Nota que, enquanto AND, OR and XOR levam dois operandos (por examplo a XOR b), NOT leva só um (NOT a).
Com estes quatro operadores podemos calcular qualquer condição necessário.

Resumindo: Aqui estão as tabelas de verdade ("truth tables") dos operadores Boolean das linguagens modernas de programação:
 

Boolean operador  AND OR XOR NOT	AND a b  a AND b  TRUE TRUE TRUE TRUE  FALSE  FALSE  FALSE  TRUE FALSE  FALSE  FALSE FALSE	OR a b a OR b TRUE TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE  FALSE   FALSE   FALSE	XOR a b  a XOR b  TRUE TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE  FALSE   FALSE   FALSE
	NOT a NOT a TRUE  FALSE   FALSE  TRUE

Exemplos:

a := 1;
b := -2;
c := 3;
d := 3;

if (a>0) then
  WriteLn('VERDADE')
else
  WriteLn('FALSA');

(a>0)                     VERDADE
(b>0)                     FALSA
(a>0) AND (b>0)           FALSA
(a>0) OR (b>0)            VERDADE
(a>0) XOR (b>0)           VERDADE
NOT (a>0)                 FALSA
(NOT (a>0)) OR (b>0)      FALSA
(2=b) OR (NOT (2=b))      VERDADE
(NOT (c>0)) XOR (d>0)     VERDADE

  PROGRAM Years;

  VAR ano: integer;

  begin
    WriteLn('From what year are you?');
    ReadLn(ano);
    if (ano=1) then
      writeln('primeiro ano: MAT-1, CALC-1')
    else
      if (ano=2) then
        writeln('segundo ano: INF, LIN-ALG')
      else
        if (ano=3) then
          writeln('terceiro ano: ELEC, FYS')
        else
          if (ano=4) then
            writeln('quarto ano: QUI, MAT-2')
          else
            if (ano=5) then
              writeln('quinto ano: PROJECTO')
            else
              writeln('>5: AINDA NAO ACABOU?');
  end.

(Nota a estrutura do programa, com indentações. Também nota que nçã há ; antes cada else).
O programal correrá sem problemas
From what year are you?
 1
primeiro ano: MAT-1, CALC-1

From what year are you?
 4
quarto ano: QUI, MAT-2

No entanto, a estrutura do programa não fica bem legível. Para melhorizar-lhe, usamos a estrutura Case ... Of.
 

Enquanto que em "if condition then instruction1" a condição é necessariamente do tipo boolean (TRUE ou FALSE), em Case ... Of podemos usar qualquer expressão que dá um valor do tipo "contável", ou seja qualquer tipo de valores discretos (por exemplo: integer, byte, mas também char. No outro lado, os string e real não tomam valores discretos e por isso são proíbidos nas estruturas Case ... Of). Os valores value1 ... valueN devem ser do mesmo tipo.
O mesmo programa acima, agora usando a estrutura case ... of:

  PROGRAM Years;

  VAR ano: integer;

  begin
    WriteLn('From what year are you?');
    ReadLn(ano);
    Case ano of
      1: writeln('primeiro ano: MAT-1, CALC-1');
      2: writeln('segundo ano: INF, LIN-ALG');
      3: writeln('terceiro ano: ELEC, FYS');
      4: writeln('quarto ano: QUI, MAT-2');
      5: writeln('quinto ano: PROJECTO')
      else writeln('>5: AINDA NAO ACABOU?');
    end;
  end.

O output do programa será igual, mas agora fica mais legível.

Aula 9:    (2=B) OR (NOT (2=B))